Akışkanlar Mekaniği

Bernoulli Denklemine Detaylı Bakış

Günlük hayatta çok kez karşılaştığımız durumları müyendislik gözüyle hiç düşündünüz mü? Örneğin arabaların içinde içilen sigaranın camdan ve sobadaki dumanın bacadan çıkması, uçakların kalkması ya da böcek ilacı, parfüm, deodorant gibi gündelik hayatta kullandığımız sıvı püskürtücü mekanizmaların ve daha fazlasının arkasında yatan sebep meşhur “Bernoulli Denklemi”ne hep birlikte bakalım.

blank
Yukarıdaki şekilde kanadın alt kısmındaki A ve üst kısmındaki B noktaları aynı dikey kesittedir. Buna göre VB > BA olduğu için PA > PB olur ve bu basınç farkı A’dan B’ye doğru bir kaldırma etkisi yaratır.

Uçak kanatları, aerodinamik tasarımı gereği, altı düz üstü eğimli bir şekilde tasarlanır. Aslında uçağın kalkmasını sağlayan da bu küçük aerodinamik farklılıktır. Bu kanat yapısı dolayısıyla, kanadın üstünden geçen hava hızlı olduğu için kanadın üstünde basınç düşer; kanadın altında ise daha kuvvetli bir basınç alanı oluşur. Uçak kalkış için limit hıza ulaştığında kanadın altındaki basınç, uçağı kaldıracak kadar güçlü olur ve uçak kalkar.

Soba örneğine baktığımızda ise siz sobayı yaktığınız anda duman eve dağılmaz ve bacaya doğru yönelir. Çünkü biriken duman soba içerisinde bir basınç yarattı. Dışarıda esen rüzgar bacanın üstündeki basıncı fazlasıyla düşürür ve duman sobayı boğmadan hızlıca ortamı terk eder.

Püskürtücüler

Püskürtücülerde ise içine hava üflenerek hava akımı oluşturulur. Dar kısıma pompalanan havanın hızı artar ve Bernoulli ilkesine göre bu noktadaki gaz basıncı da düşer. Açık hava basıncı etkisi altında olan kaptaki sıvı, A noktasında düşen basınç nedeniyle yükselmeye başlar. Dikey boruda yükselen sıvı basıncı ile atmosfer basıncı dengelenir. Yani kaptaki sıvı, alçak basınçtan yüksek basınca doğru hareket eder. Oluşan hava akımı ve yükselen sıvı A noktasında karışarak püskürtücünün açık ucundan dışarıya doğru dağılır. Böylece kaptaki sıvı, mekanizmadan ayrılırken püskürme etkisi meydana gelir.

Bernoulli prensibi, basitçe akışkanlar dinamiğinin bir parçası olarak, yatay düzlemde, akışkanın hızı arttıkça neden basıncın azaldığını açıklar. ilk olarak İsviçreli matematikçi Daniel Bernoulli tarafından 1738 yılında yayımladığı Hydrodynamica kitabında yer vermiş olmasına karşın matematiksel olarak bu denklemi ifade eden ilk kişi Leonhard Euler olmuştur.

Bernoulli denklemi, esas itibari ile mekanik enerjinin korunumu olarak ele alınabilir ve sıkıştırılabilirlik ve sürtünme etkilerinin ihmal edildiğinde, bir akışkan parçacığının bir akım çizgisi boyunca daimi akışı sırasında, kinetik, potansiyel ve akış enerjilerinin toplamının sabit kaldığını ifade eder. Bu ifade, mekanik enerjinin ısıl enerjisine ya da ısıl enerjinin mekanik enerjisine dönüşümünü içermeyen sistemler için genel enerji korunumu ilkesinin eşdeğeridir. Bu nedenle, bu tür sistemler için Bernoulli denklemi aynı zamanda “Enerji Korunumu” olarak da ifade edilir.

Bernoulli denklemi, çok yönlülüğü, basitliği ve kulanım kolaylığı sebebiyle akışkanlar mekaniğinde en sık kullanılan denklemlerin başında gelmekle birlikte çoğu zaman da yanlış kullanılmaktadır. Bu yüzden, uygulamada Bernoulli denkleminin kullanılması aşağıda belirtilen sınırlar dâhilinde dikkate alınmalıdır.

Bernoulli Denkleminin Kullanımındaki Sınırlamalar;

  • Daimi akış,
  • Sürtünmesiz akış,
  • Mil işinin olmaması,
  • Sıkıştırılamaz akış,
  • Isı geçişinin olmaması,
  • Bir akım çizgisi boyunca akış,

Süreklilik ilkesi Nedir?

Bernoulli prensibi farklı kesit alanlarında ideal akışkanın basıncının nasıl değiştiğini açıklar. Süreklilik ilkesi ise, bir borudan akan akışkan, borunun farklı kesitlerinde ki hızlarını inceler. Akışkanlarda süreklilik ilkesine göre bir boruda akan akışkanın hızı, borunun kesitinin daraldığı yerde artar. Bernoulli ilkesine göre akışkanın hızı ile basıncı arasında ters orantı vardır.

Bu göre çapı değişen yatay bir su borusunda suyun hızlı hareket ettiği bölgeler suyun daha yavaş hareket ettiği bölgelerden daha az basınç altındadır. Yani akışkanın hızının arttığı kesitte basınç azalır, hızın azaldığı kesitte basınç artar. Genelde yüksek hız ile yüksek basınç bağdaştırıldığı için, bu fikir çoğu insana ters gelir. Ancak, bunu şu şekilde düşünebiliriz; eğer suyun arkasındaki basınç önündeki basınçtan daha fazlaysa itme kuvveti altında hızlanacaktır ve bu da kanıt için yeterlidir.

Sistemin Yatay Olması Zorunlu mu?

Aslında yatay olması gerekmez ancak akış sırasında sıvının yüksekliği önemli ölçüde değişmemelidir, çünkü yer çekimine bağlı potansiyel enerjideki değişiklikler önemli hale gelecek ve bu Bernoulli prensibinin yanlış sonuç vermesi ihtimalini meydana getirecektir. Ancak yer çekimi potansiyel enerjisini hesaba katılırsa Bernoulli prensibi daha genel hale getirilebilir.

Bernoulli ve Süreklilik Prensibi

Yani yukarıdaki şekildeki kesitte akıntı hızları V3 > V2 > V1 olduğu için P1 > P2 > P3 olur. Sıvı basıncı yükseklikle doğru orantılı olduğuna göre yukarıdaki şekilde h1 > h2 > h3 olur.

Yazının bundan sonraki kısımlarında Beroulli denkleminin matematiksel ifadesinden bahsedeceğim.

Bernoulli Prensibinin Elde Edilmesi?

Bernoulli denklemi, Bernoulli prensibinin yer çekimi potansiyel enerjisindeki değişiklikleri de dikkate alan daha genel ve matematiksel formudur. Birim akışkan ağırlığı için bir akım çizgisi boyunca iki nokta arasında sıkıştırılamayan bir akış için sürtünmesiz halde Bernoulli denklemi şu şekilde yazılır:

{ P }_{ 1 }​+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }_{ 1 }^{ 2 }+\rho g{ h }_{ 1 }={ P }_{ 2 }​+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }_{ 2 }^{ 2 }+\rho g{ h }_{ 2 }

Burada P, V ve ρ sırasıyla akışkanın statik basıncını, hızını ve yoğunluğunu, g ise yerçekimi ivmesini göstermektedir.

Bir akım çizgisi boyunca akışkan parçacığına etki eden kuvvetler aşağıdaki grafikten görülmektedir.

akım

Burada Newton’un ikinci yasasını uygularsak:

\Sigma \overrightarrow { F } =m \cdot \overrightarrow { a }

Aynı zamanda kuvvet, akışkan basıncı ve basıncın uygulandığı yüzey alanına bağlı olarak aşağıda gösterildiği şekilde ifade edilebilir:

F=P \cdot A

Bir akışkanın herhangi bir noktasındaki hızı, basıncı, yoğunluğu gibi parametrelerin zamanla değişmediği akışa daimi akış denir. Daimi akışta ivme, hızın konuma bağlı olarak değişmesinden kaynaklanır. Düzenli akımlarda hız, akım çizgisi üzerindeki uzaklığın bir fonksiyonudur. Kararsız akımda ise akım çizgisi boyunca oluşan hız, uzaklığın yanı sıra zamanın da bir fonksiyonudur:

dV=\frac { \partial V }{ \partial s } ds+\frac { \partial V }{ \partial t } dt

ve yeniden düzenlenirse:

\frac { dV }{ dt } =\frac { \partial V ds }{ \partial dt } +\frac { \partial V }{ \partial t }

V=\frac { ds }{ dt }

Düz bir yörünge boyunca hareket eden parçacıklar için eğrilik yarıçapı sonsuz olduğundan ve bu yönde herhangi bir değişim meydana gelmediğinden:

\frac { \partial V }{ \partial t } =0

Buna göre akım çizgisi boyunca düzenli akımlardaki ivme:

a=\frac { dV }{ dt } =\frac { \partial V ds }{ \partial s dt } +\frac { \partial V }{ \partial s } V=\frac { dV }{ ds } olur.

Şimdi Newton denklemini tekrar yazacak olursak:

PdA-(P-dP) dA-W sin\theta =mV\frac { dV }{ ds }

m=\rho V=\rho dA ds

W=mg=\rho g dA ds

sin\theta=\frac {dh }{ ds }

ifadelerini yerine yazarsak:

-dPdA-\rho g dA ds \frac {dh }{ ds } =\rho dA ds V \frac { dV }{ ds }

dP+\rho g dh+\rho V dV=0

İntegralini alırsak:

\int { dP } +\int { \rho g dh } +\int { \rho V dV } =\int { 0 }

VdV=\frac { 1 }{ 2 } d({ V }^{ 2 })

{ P }​+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }^{ 2 }+\rho g { h }=sabit

olarak elde etmiş oluruz.

Bernoulli Denklemi ve Bernoulli Prensibi Farklı mı?

Evet ikisi farklı şeylerdir ancak bunlar birbirleriyle bağlantılıdır. Bernoulli prensibi, sıvının yüksekliğinin belirgin şekilde değişmediği durumlar için geçerli olan Bernoulli denkleminin bir sonucudur.

Yatay boruda akım çizgisi de yatay olduğundan ağırlık kuvvetinin akım çizgisi boyunca bileşeni yoktur. Yani \theta= 0’dır. Burada eğer Bernoulli denkleminde sıvının yüksekliğinde herhangi bir değişiklik olmadığını varsayarsak, her iki taraftan ρgh terimleri birbirini götürür. Denklemi şöyle yazabiliriz:

{ P }_{ 1 }​+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }_{ 1 }^{ 2 }={ P }_{ 2 }​+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }_{ 2 }^{ 2 }

Öyleyse şunu diyebiliriz:

{ P }+\frac { 1 }{ 2 } \rho { v }^{ 2 }=sabit

Bu formül Bernoulli prensibini açıklar. Eğer laminer akışta bir sıvının verilen bir bölgedeki hızı (V) daha büyük ise, bu bölgede basınç (P) daha küçük olmalıdır.

Sıkıştırılamayan sıvılar daralan bir bölüme ulaştıklarında sabit hacim akışını korumak için hızlanmak zorundadır. Ancak burada şunu düşünebiliriz. Eğer su bir daralma bölgesinde hızlanıyor ise, aynı zamanda kinetik enerji kazanıyor. Peki bu ekstra kinetik enerji nereden geliyor? Hortumun ucundan mı? Borudan mı?

Bir şeye kinetik enerji vermenin tek yolu buna iş yapmaktır. Bu, iş enerji prensibi ile ifade edilir.

{ W }{ dış }​=ΔK=\frac { 1 }{ 2 } m{ v }_{ 2 }-\frac { 1 }{ 2 } m{ v }_{ 1 }

Buna göre eğer sıvının bir kısmı hızlanıyor ise, dış bir etken sıvının bu kısmı üstünde iş yapıyor olmalıdır. Gerçek sistemlerinin çoğunda negatif iş yapan pek çok etken olabilir, ancak basit olması için biz bu kuvvetlerin ihmal edilebilir olduğunu ve sürekli ve katmanlı bir akışa sahip olduğumuzu varsayıyoruz. Katmanlı akış sıvının paralel katmanlar halinde aktığı anlamına gelir. Katmanlı ve düzgün akışta ki sıvıda girdaplar veya türbülans yoktur. Buna göre, negatif kuvvetler dolayısıyla enerji kaybı olmadığını varsayarız.

Akışı çevreleyen sıvıdan kaynaklanan iç basınç sıvının bir bölümü üstünde yapılmasına ve hızlanmasına yol açan bir kuvvete neden olur. Taralı suyun sol tarafındaki P1 basıncından kaynaklanan kuvvet sağa doğru iter ve pozitif iş yapar, çünkü taralı sıvının hareket yönüyle aynı yönde iter. Taralı sıvının sağ tarafındaki P2 basıncından kaynaklanan kuvvet sola doğru iter ve negatif iş yapar, çünkü taralı sıvının hareket yönünün tersine iter.

Pozitif ve Negatif İş

Süreklilik denklemine göre buna net pozitif miktarda iş yapıldığını biliyoruz. Dolayısıyla sol taraftaki basınç kuvvetinin yaptığı iş, sağ taraftaki basınç kuvvetinin yaptığı negatif işten daha büyük olmalıdır.

Bernoulli Denkleminin Kullanımında Dikkat Edilmesi Gereken Hususlar

Bernoulli denklemi sıvıdaki herhangi iki nokta için geçerlidir. Fakat denklemde, noktalarını nerede seçeceğimizi belirlerken noktalardan birisini bulunması zorunlu olan, bilinmeyen bir değişkenin olduğu konumda, ikinci noktayı ise genellikle sıvının atmosfere açık olduğu bir yerde seçmeliyiz. Çünkü buradaki mutlak basınç atmosferik basıncı {P}_{atm}=1,01x10^5 Pa olarak bilinir. Burada gösterge basıncı veya mutlak basınç seçilebilir, ancak seçilen basınç denklemin diğer tarafında da kullanılmalıdır. Nokta 1’e gösterge basıncı, nokta 2’ye mutlak basınç giremezsiniz.

İki nokta arası bernouli denklemi

Bernoulli denklemindeki \frac { 1 }{ 2 } \rho { v }^{ 2 } ve \rho g h terimleri, kinetik enerji \frac { 1 }{ 2 } m { v }^{ 2 } ve potansiyel enerji mgh ile aynı gibi görünür, sadece kütle ile yoğunluk yer değiştirmiştir. Dolayısıyla Bernoulli denkleminin, akan bir sıvıya enerjinin korunması uygulanmasının bir sonucu olması gayet doğaldır.

Bernoulli ve Ventürimetre

Bernoulli prensibinin kullanıldığı en belirgin alet venturi tüpü (borusu) dür. Venturi tüpü, hareket halindeki akışkanların hızları ile basınçları arasındaki ilişkiyi ölçmeye yarayan düzenektir. Venturimetre ise bu düzeneğin kullanıldığı debi ölçme aletidir. Amerikalı mühendis Clemans Herschel (1842-1930) tarafından icat edilmiştir. Herschel, konik akış kısımları üzerindeki öncü çalışmalarından dolayı 1797’de İtalyan bilim insanı Giovanni Venturi’nin (1746-1822) adını bu cihaza vermiştir.

Venturimetre
Venturimetre ile debi hesaplaması yapılırken Bernolli denklemi ve süreklilik denkleminden yararlanılır.

Venturimetre pratikte debimetre (debi ölçer) olarak kullanıldığı gibi, jet pompalarında (enjektörlü pompalarda) ve herhangi bir akışkanın, ventüri tüpünden geçirilerek bir başka akışkanın emilmesinde (karbüratörlü motorlarda hava akımıyla benzinin emilmesi ve tarımda ilaç pompalarında vb.) kullanılır.

Venturi tüpü gibi orifis ve pitot tüplerinde de Bernoulli’den faydalanılır.

Yazıyı burada sonlandırıyorum. Bernoulli denkleminin uygulamadaki kullanımlarına başka bir yazıda bahsedeceğim. Faydalı olması dileğiyle.

Dosya Kilitli

Yazıyı .pdf olarak indirmek için Lütfen Giriş Yapın!

Kaynak
12
Etiketler
Daha Fazla Göster

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

enerji sistemleri
Başa dön tuşu
Kapalı
Kapalı

Reklam Engelleyici Algılandı

Lütfen reklam engelleyiciyi devre dışı bırakarak bizi desteklemeyi düşünün